Подготовка к собеседованию — Квант-исследователь

Короткий ответ: p-value — это вероятность получить статистику как минимум настолько же экстремальную, как наблюдаемая, при условии, что нулевая гипотеза верна: P(данные ≥ наблюдаемых | H₀). Это утверждение о данных при верной H₀, а не о вероятности самой гипотезы.

Подробно:

1. Направление условия — p-value условно по H₀. Чтобы получить P(H₀ | данные), нужны априор и теорема Байеса; из одного p-value эту вероятность не извлечь.
2. Не вероятность нуля — «p = 0.03, значит H₀ верна с вероятностью 3%» — классическая ловушка, на которую интервьюер слушает специально.
3. Не размер эффекта — при огромном n мизерный, экономически бессмысленный эффект даст p < 0.001. Статистическая значимость ≠ практическая важность.

p-value  =  P(T ≥ t_набл | H₀ верна)      ✓
p-value  ≠  P(H₀ верна | данные)          ✗
1 − p    ≠  P(эффект реальный)            ✗

⚠️ Частая ошибка: «1 − p = 97% вероятность, что эффект настоящий». p-value ничего не говорит о вероятности гипотез — только о том, насколько данные удивительны, если H₀ верна.

Короткий ответ: β = Cov(x, y) / Var(x), свободный член α = ȳ − β·x̄. β показывает, на сколько в среднем меняется y при росте x на единицу. Бета из CAPM — ровно этот коэффициент: регрессия доходности актива на доходность рынка.

Подробно:

1. Вывод из нормальных уравнений — минимизируем Σ(yᵢ − α − βxᵢ)², берём производные по α и β и приравниваем к нулю.
2. Через корреляцию — β = ρ(x, y) · σ_y / σ_x: наклон — это корреляция, отмасштабированная отношением волатильностей.
3. CAPM — β_market = Cov(rᵢ, r_m) / Var(r_m): «рыночная бета» акции — буквально коэффициент одномерной OLS доходности актива против рыночной. На интервью это выдаётся мгновенно, без вывода на бумажке.

∂/∂α: Σ(yᵢ − α − βxᵢ) = 0    →  α = ȳ − β·x̄
∂/∂β: Σxᵢ(yᵢ − α − βxᵢ) = 0  →  β = Σ(xᵢ−x̄)(yᵢ−ȳ) / Σ(xᵢ−x̄)²
                                   = Cov(x, y) / Var(x)

⚠️ Частая ошибка: путать направление: β в регрессии y на x — не то же самое, что в регрессии x на y (совпадают только при |ρ| = 1). И «плавать» в формуле — Cov/Var квант обязан писать не задумываясь.

Короткий ответ: Винеровский процесс (стандартное броуновское движение) W_t — случайный процесс с четырьмя определяющими свойствами: W₀ = 0; независимые приращения; W_t − W_s ~ N(0, t − s) при s < t; непрерывные траектории почти наверное. Это базовый источник случайности в непрерывных моделях финансов.

Подробно:

1. W₀ = 0 — нормировка стартовой точки.
2. Независимые приращения — приращения на непересекающихся интервалах независимы: прошлое не помогает предсказать будущее (отсюда марковость).
3. Гауссовские приращения — W_t − W_s ~ N(0, t − s): дисперсия растёт линейно по времени, а типичный размах — как √t.
4. Непрерывность траекторий — почти наверное без скачков, но при этом траектории предельно «изломаны».

Свойства-следствия (их любят спрашивать «бонусом»):
• нигде не дифференцируем: |ΔW| ~ √Δt ≫ Δt при Δt → 0
• квадратичная вариация: Σ(ΔW)² → t  ⇒  (dW)² = dt
  (это зерно, из которого растёт лемма Ито)
• самоподобие: W_ct ~ √c·W_t;  W_t = √t·Z, где Z ~ N(0,1)

⚠️ Частая ошибка: назвать «W_t ~ N(0, t)» определением. Это лишь следствие: без независимости приращений и непрерывности траекторий процесс с такими маргинальными распределениями винеровским не является.

Короткий ответ: Это переобучение (high variance): модель выучила шум трейна вместо сигнала. Стандартное лечение — регуляризация, более простая модель, больше данных, early stopping и честная валидация. Но в финансах есть второй подозреваемый: тестовый период мог оказаться другим режимом рынка — тогда дело не в переобучении.

Подробно:

1. Диагностика — learning curves: train-ошибка почти нулевая, а validation-ошибка не приближается к ней с ростом данных → variance, а не bias.
2. Регуляризация — L1/L2, ограничение глубины деревьев, dropout: штраф за сложность возвращает модель к сигналу.
3. Упростить модель / срезать фичи — меньше параметров на то же число наблюдений.
4. Больше данных и early stopping — остановиться до того, как модель начнёт запоминать шум.
5. Честная валидация — для временных рядов walk-forward, а не случайный shuffle: иначе сама оценка завышена ликом.

⚠️ Частая ошибка: лечить регуляризацией любой разрыв train/test. Если тестовый год — другой режим рынка, никакой штраф не поможет; нужна валидация, покрывающая разные режимы.

Короткий ответ: Метод Монте-Карло «дартс»: бросаем N случайных точек в единичный квадрат и считаем долю попавших в четверть круга (x² + y² ≤ 1). Эта доля сходится к π/4, значит π ≈ 4 · (доля попаданий).

Подробно:

1. Геометрия — площадь четверти круга радиуса 1 равна π/4, площадь квадрата равна 1; вероятность попадания — отношение площадей.
2. Сходимость — по ЦПТ ошибка убывает как 1/√N: каждая дополнительная значащая цифра стоит в ~100 раз больше выборок.
3. Векторизация — генерируем все точки разом, без питоновского цикла по одной точке.

import numpy as np

rng = np.random.default_rng(42)
n = 10_000_000
x, y = rng.random(n), rng.random(n)
pi_hat = 4 * np.mean(x**2 + y**2 <= 1)
# ошибка ~ 1/sqrt(n): при n = 10^7 верны примерно 3–4 знака

⚠️ Частая ошибка: ждать от Монте-Карло быстрой точности: чтобы получить 6 знаков вместо 3, нужно в ~10⁶ раз больше точек. Для самой константы π это худший из методов — но вопрос проверяет, понимаете ли вы скорость сходимости 1/√N, общую для всех МК-оценок.